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2014/06/18(水)Perl Data Language 統計編 #11 「対数近似曲線を引く」
変数の個数xと計算時間yとの間に「y = b + a log_10 x」の関係があるときに、５個のデータで対数近似曲線を引く問題です。
「X = log_10 x」、「Y = y」とおいて「Y = b + aX」の形にすると解けます。
図は
- 青の点：データの散布
- 赤の折れ線：対数近似した折れ線
- 緑の曲線：対数近似した曲線
を表しています。
#!/usr/bin/env perl
use strict;
use warnings;
use feature qw/say/;
use PDL::Lite;
use PDL::Stats;
use PDL::Graphics::PLplot ();
use DDP filters => { -external => [ 'PDL' ] };
my $num_var = pdl [qw/10 50 100 500 1000/];
my $time = pdl [qw/7.2 8.5 9.1 10.3 11.0/];
my $pl = PDL::Graphics::PLplot->new(
DEV => 'pngcairo',
XLAB => '変数の個数',
XTICK => 100,
NXSUB => 1,
YLAB => '計算時間 (100ms)',
YTICK => 2,
NYSUB => 2,
BOX => [ 0, 1200, 0, 12 ],
);
$pl->xyplot($num_var, $time, PLOTTYPE => 'POINTS', COLOR => 'BLUE', SYMBOLSIZE => 2);
my $num_var_log10 = log($num_var) / log(10);
my %result = $time->ols($num_var_log10, { PLOT => 0 });
$pl->xyplot($num_var, $result{y_pred}, PLOTTYPE => 'LINE', COLOR => 'RED');
my ($a, $b) = $result{b}->list;
my $x = pdl [ 0 .. 1200 ];
my $y = $b + $a * log($x) / log(10);
$pl->xyplot($x, $y, PLOTTYPE => 'LINE', COLOR => 'GREEN');
$pl->close;
2014/06/03(火)Perl Data Language 統計編 #10 「決定係数、残差プロット、自由度調整済み決定係数、標準誤差、P値」
データは#09と同じく最高気温とアイスティーの注文数のデータです。
Perlで書くとこんな感じでした。
#!/usr/bin/env perl
use strict;
use warnings;
use feature qw/say/;
use PDL::Lite;
use PDL::Stats;
use PDL::Graphics::PLplot ();
use DDP filters => { -external => [ 'PDL' ] };
my $kion_max = pdl [qw/29 28 34 31 25 29 32 31 24 33 25 31 26 30/];
my $num_tea = pdl [qw/77 62 93 84 59 64 80 75 58 91 51 73 65 84/];
my %result = $num_tea->ols($kion_max, { PLOT => 0 });
say "決定係数：";
say $result{R2}->sclr;
print "\n";
# 散布図と回帰直線の描画
my $pl = PDL::Graphics::PLplot->new(
DEV => 'pngcairo',
FILE => 'manga.png',
XLAB => '最高気温',
YLAB => 'アイスティーの注文数',
BOX => [ 20, 35, 50, 100 ],
);
$pl->xyplot($kion_max, $num_tea, PLOTTYPE => 'POINTS', COLOR => 'BLUE', SYMBOLSIZE => 2);
$kion_max->qsort;
$pl->xyplot($kion_max, $result{y_pred}, PLOTTYPE => 'LINE', COLOR => 'RED');
$pl->close;
# 回帰残差の計算
my $residual = $num_tea - $result{y_pred};
# 残差プロット
my $pl2 = PDL::Graphics::PLplot->new(
DEV => 'pngcairo',
FILE => 'manga_residual.png',
TITLE => '残差プロット',
PLOTTYPE => 'POINTS',
COLOR => 'BLUE',
SYMBOLSIZE => 2,
XLAB => 'アイスティーの注文数の予測値',
YLAB => '残差',
NYSUB => 2,
BOX => [ 50, 100, -6, 6 ],
XBOX => 'abcnst',
);
$pl2->xyplot($result{y_pred}, $residual);
$pl2->close;
my $residual_squared = $residual ** 2;
say "残差平方和：";
say $residual_squared->sum;
say $result{ss_residual}->sclr;
print "\n";
say "残差の分散：";
my $residual_variance = $result{ss_residual}->sclr / ($kion_max->nelem - 2);
say $residual_variance;
print "\n";
say "自由度調整済み決定係数：";
say 1 - ($residual_variance / $num_tea->var_unbiased);
print "\n";
say "回帰係数の標準誤差：";
say $result{b_se};
print "\n";
say "P値：";
say sprintf("%.8f", $result{b_p}->sclr);
出力↓
決定係数：
0.822509288116695
残差平方和：
391.088105726872
391.088105726872
残差の分散：
32.5906754772394
自由度調整済み決定係数：
0.807718395459753
回帰係数の標準誤差：
[0.50124814 14.687267]
P値：
0.00000766
散布図と回帰直線は前回と同様です。
2014/06/03(火)Perl Data Language 統計編 #09 「回帰直線を引く」
統計検定から少し寄り道して、「マンガでわかる統計学[回帰分析編]」の回帰直線を引くコードを書いていました。
最高気温とアイスティーの注文数のデータに対する回帰直線です。
一方向性の因果関係を想定する場合、散布図は、X軸に原因系の変数をとってY軸に結果系の変数をとったものにするようです。
#!/usr/bin/env perl
use strict;
use warnings;
use feature qw/say/;
use PDL::Lite;
use PDL::Stats;
use PDL::Graphics::PLplot ();
use DDP filters => { -external => [ 'PDL' ] };
my $kion_max = pdl [qw/29 28 34 31 25 29 32 31 24 33 25 31 26 30/];
my $num_tea = pdl [qw/77 62 93 84 59 64 80 75 58 91 51 73 65 84/];
say '相関係数：' . $kion_max->corr($num_tea);
my ($a, $b) = $num_tea->ols($kion_max, { PLOT => 0 })->list;
my $pl = PDL::Graphics::PLplot->new(
DEV => 'pngcairo',
FILE => 'manga.png',
XLAB => '最高気温',
YLAB => 'アイスティーの注文数',
BOX => [ 20, 35, 50, 100 ],
);
$pl->xyplot($kion_max, $num_tea, PLOTTYPE => 'POINTS', COLOR => 'BLUE', SYMBOLSIZE => 2);
$kion_max->qsort;
$pl->xyplot($kion_max, $kion_max * $a + $b, PLOTTYPE => 'LINE', COLOR => 'RED');
$pl->close;
追記： olsメソッドの戻り値のy_predに予測値が入っているので、それを使うほうが効率いいですね。戻り値はPerlのコンテキストに応じて変わります。
#!/usr/bin/env perl
use strict;
use warnings;
use PDL::Lite;
use PDL::Stats;
use PDL::Graphics::PLplot ();
my $kion_max = pdl [qw/29 28 34 31 25 29 32 31 24 33 25 31 26 30/];
my $num_tea = pdl [qw/77 62 93 84 59 64 80 75 58 91 51 73 65 84/];
my %result = $num_tea->ols($kion_max, { PLOT => 0 });
my $pl = PDL::Graphics::PLplot->new(
DEV => 'xcairo',
XLAB => '最高気温',
YLAB => 'アイスティーの注文数',
BOX => [ 20, 35, 50, 100 ],
);
$pl->xyplot($kion_max, $num_tea, PLOTTYPE => 'POINTS', COLOR => 'BLUE', SYMBOLSIZE => 2);
$kion_max->qsort;
$pl->xyplot($kion_max, $result{y_pred}, PLOTTYPE => 'LINE', COLOR => 'RED');
$pl->close;
出力される図は全く同一です。
2014/06/02(月)Perl Data Language 統計編 #08 「系列相関とコレログラム」
データは↓の「第２章/本文/Salary.data」
http://www.tokyo-tosho.co.jp/download/DL02122.zip
系列相関の式を見るだけでは分かりづらいので、PDLで計算＆グラフ描画です。
実行にも時間がかかるようになってきましたが、計算結果をハッシュとかでメモするなどの高速化の余地はあります。
#!/usr/bin/env perl
use strict;
use warnings;
use feature qw/say/;
use PDL::Lite;
use PDL::IO::Misc ();
use PDL::Graphics::PLplot ();
use DDP filters => { -external => [ 'PDL' ] };
my $infile = 'Salary.data';
my $colnum_time = 0;
my $colnum_tokyo = 2;
my ($yyyymm, $salary) = PDL->rcols($infile, { COLSEP => "t", INCLUDE => qr/[0-9]/ }, $colnum_time, $colnum_tokyo);
my $T = $yyyymm->nelem;
my $X = pdl [ 0 .. $T - 2 ]; # 月差
my $Y = PDL->null; # 系列相関
for my $h (0 .. $T - 2)
{
my $hensa_sekiwa = 0;
my $s_h = 0;
my $s_plus_h = 0;
for my $i ( 0 .. ($T - 1) - $h )
{
my $y_bar_h = 0;
my $y_bar_plus_h = 0;
for my $j ( 0 .. ($T - 1) - $h )
{
$y_bar_h += $salary->at($j) / ($T - $h);
$y_bar_plus_h += $salary->at($j+$h) / ($T - $h);
}
$s_h += ($salary->at($i) - $y_bar_h) ** 2;
$s_plus_h += ($salary->at($i+$h) - $y_bar_plus_h) ** 2;
$hensa_sekiwa += ($salary->at($i) - $y_bar_h) * ($salary->at($i+$h) - $y_bar_plus_h);
}
$s_h = sqrt $s_h;
$s_plus_h = sqrt $s_plus_h;
my $r_h = $hensa_sekiwa / ($s_h * $s_plus_h);
$Y = $Y->append($r_h);
say $r_h;
}
my $pl = PDL::Graphics::PLplot->new(
DEV => 'pngcairo',
FILE => 'correlogram.png',
PAGESIZE => [1800, 700],
TITLE => '東京の給与データのコレログラム',
COLOR => 'BLUE',
XLAB => '月差',
XTICK => 6,
NXSUB => 3,
YLAB => '系列相関',
);
$pl->xyplot($X, $Y);
$pl->close;
統計検定のテキストによると、縦軸を系列相関、横軸を時間差にしたものをコレログラムというらしい。テキスト通り、６ヶ月差と１２ヶ月差で周期性が見られました。
ちなみに、「PDL::Stats」のメソッドでやると↓のようになりました。系列相関係数の定義式が本によって違うんだけど、とりあえず統計検定２級のテキストに従っておけばいいのだろうか。
#!/usr/bin/env perl
use strict;
use warnings;
use feature qw/say/;
use PDL::Lite;
use PDL::Stats;
use PDL::IO::Misc ();
use PDL::Graphics::PLplot ();
use DDP filters => { -external => [ 'PDL' ] };
my $infile = 'Salary.data';
my $colnum_time = 0;
my $colnum_tokyo = 2;
my ($yyyymm, $salary) = PDL->rcols($infile, { COLSEP => "t", INCLUDE => qr/[0-9]/ }, $colnum_time, $colnum_tokyo);
my $X = pdl [ 0 .. $yyyymm->nelem - 1 ]; # 月差
my $Y = $salary->acf;
my $pl = PDL::Graphics::PLplot->new(
DEV => 'pngcairo',
FILE => 'correlogram.png',
PAGESIZE => [1800, 700],
TITLE => '東京の給与データのコレログラム',
COLOR => 'BLUE',
XLAB => '月差',
XTICK => 6,
NXSUB => 3,
YLAB => '系列相関',
BOX => [ $X->minmax, -1.0, 1.0 ],
);
$pl->xyplot($X, $Y);
$pl->close;
2014/05/30(金)Perl Data Language 統計編 #07 「標準化（Z）得点、偏差値（T）得点、変動係数、（やらしい）散布図、相関係数」
１０人の２回の試験結果の分析です。
PLplotでどうやって散布図書くのかと思ったけど、PLOTTYPEをPOINTSに変えれば散布図になりました。使えるSYMBOLは「http://search.cpan.org/~dhunt/PDL-Graphics-PLplot-0.67/plplot.pd#SYMBOL」を参照。適当にハートマークのプロットの散布図にしてみました（謎）。
コードはループ中にavgメソッドがあったりとあまり効率よくなさそうですが、短く書くのを優先しました。（おそらく平均とかは別の変数に格納しておくほうが速いと思われる）
相関係数は「PDL::Stats」はN-1じゃないほうで計算しているけど、相関係数の定義式ではNでもN-1でも分母分子はNまたはN-1が割って１になるため、この違いは関係なくなります。
相関係数はおよそ0.6で、ぼちぼち相関ありって感じです。
#!/usr/bin/env perl
use strict;
use warnings;
use feature qw/say/;
use PDL::Lite;
use PDL::Stats;
use PDL::IO::Misc ();
use PDL::Graphics::PLplot ();
use DDP filters => { -external => [ 'PDL' ] };
# 試験結果
# Aさん .. Jさんの順番で並んでいる
my $first = pdl [qw/30 30 40 40 50 50 60 60 70 70/];
my $second = pdl [qw/45 60 50 65 70 50 55 60 70 75/];
say "１回目の試験の平均 ：" . sprintf("%.1f", $first->avg);
say "１回目の試験の標準偏差：" . sprintf("%.1f", $first->stdv_unbiased);
say "２回目の試験の平均 ：" . sprintf("%.1f", $second->avg);
say "２回目の試験の標準偏差：" . sprintf("%.1f", $second->stdv_unbiased);
print "\n";
# 標準化
my $first_standardized = ($first - $first->avg) / $first->stdv_unbiased;
my $second_standardized = ($second - $second->avg) / $second->stdv_unbiased;
say "Cさんの１回目と２回目の標準化（Z）得点：";
my $c_san_num = 2;
printf( "%.2f", $first_standardized->at($c_san_num) );
print " ";
printf( "%.2f", $second_standardized->at($c_san_num) );
print "\n";
print "\n";
say "みんなの偏差値（T得点）：";
my $first_t = $first_standardized * 10 + 50;
my $second_t = $second_standardized * 10 + 50;
say "１回目：";
printf("%.1f ", $_) for $first_t->list;
print "n";
say "２回目：";
printf("%.1f ", $_) for $second_t->list;
print "\n";
print "\n";
say "１回目の変動係数：" . $first->stdv_unbiased / $first->avg;
say "２回目の変動係数：" . $second->stdv_unbiased / $second->avg;
print "\n";
say "１回目の試験と２回目の試験の相関係数：";
say sprintf( "%.3f", $first->corr($second) );
# 一応、専用メソッドを使わずに相関係数を求めてみる
my $sxy = 0;
for my $i ($first->listindices)
{
$sxy += ($first->at($i) - $first->avg) * ($second->at($i) - $second->avg);
}
$sxy /= $first->nelem - 1;
say sprintf( "%.3f", $sxy / ($first->stdv_unbiased * $second->stdv_unbiased) );
my $pl = PDL::Graphics::PLplot->new(
DEV => 'xcairo',
TITLE => '１回目の試験と２回目の試験の散布図',
XLAB => '１回目の試験の点数',
XTICK => 10,
NXSUB => 1,
YLAB => '２回目の試験の点数',
YTICK => 10,
NYSUB => 1,
COLOR => 'DEEPPINK',
PLOTTYPE => 'POINTS',
SYMBOL => 742, # ハートマーク
SYMBOLSIZE => 1.5,
);
$pl->xyplot($first, $second, BOX => [ 0, 100, 0, 100 ]);
$pl->close;
１回目の試験の平均 ：50.0
１回目の試験の標準偏差：14.9
２回目の試験の平均 ：60.0
２回目の試験の標準偏差：10.0
Cさんの１回目と２回目の標準化（Z）得点：
-0.67 -1.00
みんなの偏差値（T得点）：
１回目：
36.6 36.6 43.3 43.3 50.0 50.0 56.7 56.7 63.4 63.4
２回目：
35.0 50.0 40.0 55.0 60.0 40.0 45.0 50.0 60.0 65.0
１回目の変動係数：0.298142396999972
２回目の変動係数：0.166666666666667
１回目の試験と２回目の試験の相関係数：
0.596
0.596
